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O SAS Plataforma de Educação desenvolveu o Projeto ENEM, com apoio do Centro Universitário de João Pessoa (Unipê), que apresenta aos futuros universitários uma série de fascículos contendo questões no modelo ENEM, obedecendo à estrutura aplicada no exame e à Matriz de Referência. Todo o material tem como ponto de partida o Raio X ENEM, uma pesquisa realizada pelo SAS que identificou os conteúdos mais recorrentes no Exame nos anos de 2009 a 2019.
Os fascículos são divididos por área de conhecimento, conforme aplicado na prova e estudado no seu dia a dia: Linguagens, Códigos e suas Tecnologias, Ciências Humanas e suas Tecnologias, Matemática e suas Tecnologias e Ciências da Natureza e suas Tecnologias. Todos serão publicados no Portal Correio por meio do projeto ‘Conexão Enem’, com patrocínio do Unipê e Over Colégio e Curso.
Este é o primeiro fascículo do Projeto ENEM a abordar a área de Matemática. Com isso, identificaremos os conteúdos que mais costumam cair e perceber que, em sua maioria, são assuntos vistos, inicialmente, no Ensino Fundamental e que se relacionam em muito com situações do cotidiano.
As grandes áreas da Matemática são as que têm mais destaque e podem ser elencadas como as mais recorrentes. Geometria aparece em quase um quarto de todas as questões do Exame de 2009 até hoje, com 23,5%; tal número engloba todas as especificações da Geometria, como plana, espacial e analítica. Em seguida, a Aritmética tem mais recorrência, aparecendo em 12,4% das questões.
No próximo fascículo, daremos início à área de Ciências da Natureza.
1.
Dois planos, α e β, perpendiculares entre si, estão posicionados de modo a formar um diedro. Um segmento de reta paralelo ao plano β e perpendicular ao plano α foi projetado ortogonalmente em cada um desses planos.
Qual das imagens melhor representa as projeções desse segmento?
2.
Um garoto desce uma tirolesa suspenso por uma roldana apoiada em um cabo de aço retilíneo. Quando atinge o ponto A, ele se desloca com velocidade horizontal constante de 14 m/s e está a 7,7 metros de altura da superfície de um lago. 1,4 segundo depois, ao atingir o ponto B, ele se solta e cai na água, conforme mostra a figura.
O ângulo θ, formado entre o cabo de aço e o suporte vertical que fixa sua extremidade mais alta, é tal que tg θ = 3,5. A que altura da superfície do lago o garoto estava no momento em que se soltou do cabo de aço?
3.
As Pirâmides de Gizé são estruturas monumentais construídas em pedra. Possuem uma base quadrada e quatro faces triangulares que convergem para um vértice. A maior delas, a Pirâmide de Quéops, mede cerca de 150 metros de altura e é chamada Grande Pirâmide. Estima-se que seu volume seja da ordem de 2 500 000 m3.
PIRÂMIDES de Gizé. Só História. Disponível em: <http://www.sohistoria.com.br>. Acesso em: 2 fev. 2018. (adaptado)
Para construir uma maquete da Pirâmide de Quéops na escala 1:1 000, respeitando suas proporções reais, um projetista dispõe das seguintes opções de placas de sustentação retangulares.
Considere 2,23 como aproximação para 
A placa de sustentação deve ter a menor área possível, de modo que a base da maquete esteja totalmente apoiada sobre ela.
Desse modo, o projetista deve escolher a placa
4.
Um jogo chamado “Procurado” é praticado em uma quadra com marcações que servem como referência para a localização dos participantes. A figura representa a quadra, sendo a distância entre linhas e colunas consecutivas equivalente a um metro.
Uma bola é jogada ao alto, e o primeiro jogador a pegá-la deve contar até três, enquanto os demais se afastam. Ao fim da contagem, todos os oponentes devem parar imediatamente. Em seguida, o jogador que tem a bola deve acertá-la em um dos oponentes, eliminando-o do jogo.
Paulo está na posição H7 da quadra, pronto para arremessar a bola. Ele sabe que tem mais chance de acertar um adversário que está mais próximo e observa que seus cinco oponentes estão parados nas seguintes coordenadas: Alan (E5), Bruno (F8), Carlos (H3), Daniel (J9) e Eduardo (J4).
É mais provável que Paulo consiga acertar
5.
Um azulejo decorativo possui formato quadrado, com as medidas indicadas na figura. As áreas em cinza são quadrados de área equivalente.
A região branca desse azulejo tem área, em centímetro quadrado, igual a
6.
Brincando em uma piscina inflável, um garoto percebeu que, ficando em pé dentro da piscina completamente cheia, a quarta parte de seu corpo, em relação à altura, não fica submersa. A altura do garoto é 1,20 m, e o fundo da piscina ocupa uma área de 6 m2.
A capacidade máxima da piscina, em litro, é igual a
7.
Em alguns bancos, o número da conta dos clientes é seguido de um algarismo que representa o dígito verificador, que é obtido a partir de uma combinação dos algarismos do número que o antecede (número-base) e serve para verificar a autenticidade do valor numérico fornecido.
Para certo banco, cada número de conta possui o formato abcde-DV, em que abcde é o número-base e DV é o dígito verificador. Para obter o dígito verificador, realizam-se os seguintes passos:
Pelo critério estabelecido para esse banco, o dígito verificador da conta de número 45375 é
No jogo de basquete, podem ser marcadas cestas de 1, 2 ou 3 pontos. Em uma partida, um jogador marcou um total de 66 pontos, dos quais seis foram em cestas de 1 ponto. Sabe-se que seu número de cestas de 2 pontos é maior que o dobro e menor que o triplo da sua quantidade de cestas de 3 pontos.
O número de cestas de 2 pontos que o jogador marcou na partida é um
9.
Um garoto coleciona miniaturas de criaturas místicas, as quais ele adquire em uma máquina de sorteio. A máquina sempre informa a quantidade de miniaturas disponíveis por tipo, de modo que a pessoa saiba quais são as chances de obter a criatura desejada. Cada ficha da máquina custa R$ 1,25, concedendo uma única miniatura, sorteada de modo aleatório. A tabela mostra as miniaturas disponíveis na máquina.
No momento, o garoto deseja obter uma miniatura qualquer de dragão, podendo tentar a sorte na máquina ou comprá-la de um amigo pelo valor exato de R$ 50,00.
Entre as duas possibilidades, a situação mais vantajosa para o garoto é comprar a miniatura
10.
A maior parte da ciência moderna aceita a existência de túneis hipotéticos – comumente conhecidos como buracos de minhoca – que ligam diferentes pontos do espaço-tempo. […]. Para acessar um buraco de minhoca, você precisaria medir não mais que um bilionésimo de trilionésimo de trilionésimo de centímetro. Nem mesmo Alice conseguiu isso no País das Maravilhas, e ela tinha uma poção encolhedora mágica.
SMITH, Daniel. A mente de Stephen Hawking. São Paulo: Universo dos Livros, 2016. p. 180.
A potência de base 10 que representa o tamanho limite, em centímetro, para se ter acesso a um buraco de minhoca é
11.
Três ciclistas, A, B e C, participam de uma competição em uma pista circular. Os tempos que A, B e C demoram para completar uma volta são, respectivamente, 126 s, 72 s e 108 s. A largada é dada, e os ciclistas começam a dar voltas na pista. Em certo momento, pela primeira vez após a largada, A e B cruzam juntos o ponto de partida da pista.
Nesse momento, quantas voltas completas C terá dado na pista?
12.
As vendas do varejo cresceram 0,7% em novembro na comparação com outubro, depois de recuarem 0,7% no mês anterior. O número foi divulgado pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE).
Taxas em novembro
Variação percentual nos meses de novembro, frente a outubro
CURY, Anay; SILVEIRA, Daniel. Comércio cresce 0,7% e tem maior alta para novembro desde 2011, diz IBGE. G1, 9 jan. 2018. Disponível em: <http://g1.globo.com>. Acesso em: 5 mar. 2018. (adaptado)
Dentre as opções a seguir, a média aritmética das taxas de novembro do período de 2013 a 2017 é mais próxima da taxa observada no ano de
13.
Viajando de carro rumo a Los Angeles, uma pessoa vê a placa a seguir na estrada, sendo a distância dada em milha. Devido ao cansaço, até o fim da viagem, ela deseja dirigir por, no máximo, mais 1 hora e 20 minutos.
Considere que 1 milha equivale a 1,6 quilômetro. Com que velocidade média mínima, em quilômetro por hora, essa pessoa deve dirigir até chegar ao seu destino final?
14.
Estima-se que, em 2016, a quantidade de dados que circularam na internet foi de 1,1 zettabyte, e que, ao final de 2019, esse valor chegaria a 2 zettabytes. Suponha que a circulação de dados cresceu de forma linear nesse período, mantendo-se o padrão de crescimento nos anos seguintes.
Considere que 1 zettabyte = 106 petabytes, 1 petabyte = 106 gigabytes e que um vídeo em qualidade UHD (ultra high definition) tem, em média, 16 gigabytes de dados. A quantidade de dados que circularão na internet em 2023 equivale a quantos vídeos em qualidade UHD?
15.
Três máquinas de corte de madeira de determinado modelo produzem, em 8 horas de trabalho, um total de 4 toneladas de madeira cada uma. Já duas máquinas de corte de um segundo modelo produzem, em 10 horas de trabalho, 6 toneladas de madeira cada uma.
As máquinas do segundo modelo apresentam, em relação às do primeiro modelo, um desempenho
16.
O gráfico mostra a quantidade de internações hospitalares por acidentes de trânsito no estado de Minas Gerais entre os anos de 2008 e 2015.
Minas Gerais, internações por acidentes de trânsito, 2008 a 2015
MINAS Gerais, internações por acidentes de trânsito, 2008 a 2015. Vias Seguras, 17 abr. 2017. Disponível em: <http://vias-seguras.com>. Acesso em: 30 jan. 2018.
Considerando uma tendência linear de crescimento a partir de 2014, a quantidade de internações por acidentes de trânsito em 2020 será
17.
Uma vendedora autônoma comprou um lote de determinado modelo de sapato. Os calçados foram distribuídos por numeração, conforme a tabela.
Como o modelo teve excelente receptividade dos clientes, a vendedora resolveu fazer uma encomenda de mais 540 pares de sapatos, distribuídos de modo a manter a mesma proporção do primeiro lote em relação à numeração.
A quantidade de pares de sapato de numeração 36 adquiridos na segunda encomenda é
18.
Um cliente assíduo de certo supermercado sabe que o estabelecimento realiza promoções periodicamente. Nesta semana, há três tipos de promoção para determinado produto:
Considerando o preço médio unitário em cada promoção, o cliente analisa qual delas é mais vantajosa, concluindo que a(s)
COMENTÁRIOS
Como o segmento é paralelo ao plano β, sua projeção nesse plano também corresponde a um segmento de reta. Sendo perpendicular ao plano α, sua projeção sobre esse plano corresponde a um ponto.
De A até B, o garoto deslocou-se com velocidade horizontal constante de 14 m/s durante 1,4 segundo, ou seja, seu deslocamento na direção horizontal foi de 14 · 1,4 = 19,6 m. De acordo com a imagem, tem-se:
Calcula-se a medida da área da base da pirâmide real:
Considerando a localização de Paulo (H7) como a origem de um sistema cartesiano, e as iniciais de cada nome como um ponto localizado nesse plano, tem-se: P(0, 0); A(–3, 2); B(–2, –1); C(0, 4); D(2, –2); E(2, 3).
Calcula-se a distância de cada ponto até a origem:
Como a menor distância é dPB, é mais provável que Paulo acerte Bruno.
O lado do azulejo mede 25 + 18 + 25 = 68 cm, e o lado do quadrado cinza mede 25 cm. Assim, a área da região branca corresponde à área do azulejo subtraída da área dos 5 quadrados cinzas:
682 – 5 · 252 = 4 624 – 3 125 = 1 499 cm2
Para calcular o volume de água da piscina, determina-se o produto entre a área da base e a altura. Como a quarta parte do corpo do garoto fica fora da água, então a altura da piscina corresponde a três quartos da altura do garoto:
Realizando a sequência de passos descrita, tem-se: 4 · 9 + 5 · 8 + 3 · 7 + 7 · 2 + 5 · 2 = 121
O resto da divisão de 121 por 11 é 0 (zero). Portanto, segue que DV = 0.
Dos 66 pontos marcados, seis foram em cestas de 1 ponto. Logo, as cestas de 2 e 3 pontos totalizam 60 pontos. Sendo x e y os números de cestas de 2 e 3 pontos, respectivamente, tem-se:
Para garantir que o garoto obtenha a miniatura desejada, deve-se considerar que serão obtidos todos os outros tipos de miniaturas antes de um dragão. Assim, serão necessárias até 37 fichas (36 para todos os outros tipos e 1 para um dragão). Como cada ficha custa R$ 1,25, o gasto máximo será 37 · 1,25 = R$ 46,25, situação mais vantajosa que comprar a miniatura do amigo por R$ 50,00.
De acordo com as classes do sistema de numeração decimal, a potência de 10 que representa um bilionésimo é 10-9, e a que representa um trilionésimo é 10-12. Assim, um bilionésimo de trilionésimo de trilionésimo de centímetro equivale a 10-9 · 10-12 · 10-12 = 10-33cm.
Calculando o m.m.c. dos tempos de A e B, tem-se m.m.c.(126, 72) = 504. Em 504 segundos após a largada, C terá dado voltas na pista, ou seja, 4 voltas completas (parte inteira).
A média das taxas de 2013 a 2017 é:
–0,32 é, aproximadamente, a taxa observada no ano de 2016.
1 milha = 1,6 km ⇒ 75 milhas = 120 km. Assim, a distância a ser percorrida é de 120 km.
A velocidade média mínima para a conclusão da viagem nesse tempo é dada por:
De 2016 a 2019 (3 anos), o valor cresceu em 0,9 ZB, o que corresponde a um aumento de 0,3 ZB por ano. De 2019 a 2023, passam-se 4 anos, logo a quantidade de dados em 2023 será: 2 + 4 · 0,3 = 3,2 ZB.
Como 1 ZB = 106 PB = 106 · 106 GB = 1012 GB, então 3,2 ZB = 3,2 · 1012 GB = 32 · 1011 GB. Assim, a quantidade equivalente de vídeos de 16 GB seria:
Montando a regra de três composta e observando a relação entre as grandezas envolvidas, tem-se:
180% supera em 80% o desempenho das máquinas do primeiro modelo (100%).
De 2014 para 2015, o aumento foi:
22 303 – 21 825 = 478
Considerando uma tendência linear, a taxa de crescimento anual é 478. Assim, a partir de 2014, conta-se um acréscimo de 478 unidades por ano. De 2015 a 2020, são 5 anos, logo, tem-se:
22 303 + 5 · 478 = 24 693
O primeiro lote possuía 15 pares de sapatos, dos quais 4 eram de numeração 36. Desse modo, para manter a proporção entre as numerações, devem ser adquiridos pares de sapato de numeração 36.
A promoção 2 é a mais vantajosa, pois representa a menor razão, e as promoções 1 e 3 são equivalentes.
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